確率思考への転換−FXトレーダーが教える確率思考

集合を図式化して見える化するベン図の書き方

 

グループやあるものの集まりを「集合」と言います。その集合の問題を簡単に見える化する方法に「ベン図」と言うものが存在します。

 

簡単に説明してしまえば、ベン図とは集合をわかりやすく図式化したものになります。ベン図は、グループや集合の中から与えられた条件に合う人数や数量を求める際に適切な方法なのです。

 

 ベン図の考え方について
例えば、100人アンケートを取り、良かった、悪かった、どちらでもないと言う回答が出た際に、どちらでもないと言う重複した回答を求める際や整理する際に簡単にわかりやすく整理することができます。

 

その際の回答が、

 

 ・良かった(40人)
 
 ・悪かった(40人)
 
 ・どちらでもない

 

このような回答になった場合にベン図で表すためには、まず、良かったと言う回答を1つのグループとして表します。

 

良かったと回答した40人を1つのグループと考えることができ、集合と解釈できます。そうしますと以下のような円を書くことができます。

 

 

この円は良かったと回答した40人のグループと言うことを示していますので、それ以外の60人はこの時点では円以外、つまり長方形の中に表すことができます。

 

しかし、今回のアンケートの回答には良かったと答えた人以外の回答も存在します。悪かったと回答した人もグループにすることができますので、悪かった40人と言う集合も円にすることができます。

 

すると以下のように長方形の中に2つのグループの円を書くことができます。この際に2つの円を重ねて書くことによって残りのどちらでもないと言う回答を求めることができます。

 

 

100人にアンケートを取り、良かった人数が40人悪かった人数が40人になりますので、残りのどちらでもないと言う回答の人は20人と言うように答えを出すことができます。
 
 ベン図の応用問題
このような簡単な計算ではベン図を使わなくてもいいと思う方もいると思いますが、あくまでも基本を習うためにベン図を使ったと言うことを理解していただきたいです。

 

では、上記のような基本的な部分を考慮して次の問題を解いてみましょう。

 

あるお寿司屋さんについて、男性300人、女性200人にアンケートを取りました。その際の結果は次の表になります。

 

 

料理もしくは店の雰囲気のどちらか一方だけが良いと回答した男性が90人、料理と店の雰囲気とも両方良いと回答した女性が40人であるとき、料理も店の雰囲気もよくないと回答した人は男女合わせて何人になるでしょう。

 

このような問題になりますと、たくさんの条件出てきますので、簡単に答えを求められません。ですから、ベン図を使ってわかりやすく答えを求めるのです。

 

まず、この問題からわかることを整理します。

 

 ・男性が300人、女性が200人にお寿司屋さんのアンケートを取ったと言うこと。
 
 ・アンケート項目が料理の評価と店の雰囲気の評価の2つになり、男性と女性の回答の「良い」「良くない」は、表に出ているので答えがすでにわかると言うこと。
 
 ・表以外からわかっていることは、「料理または、店の雰囲気のどちらか一方だけが良い」と回答した男性が90人、「料理も店の雰囲気もどちらも良い」と回答した女性が180人と言う事実がわかっていると言うこと。
 
 ・結局何を求められているのかは、「料理も店の雰囲気も両方良くない」と回答した男女の人数であると言うこと。

 

この4つのことがこの問題から読み取れます。この4つのから答えを出すためのに考えていきます。

 

男性のグループと女性のグループが存在しまうので、ベン図を書くことができると言うことがわかります。ですから、2つの長方形を書き、その中に男性と女性のグループをそれぞれ描きます。

 

そして、料理と店の雰囲気と言う2種類の回答があることから、長方形の中にはこの2つの円を書くことがわかります。そして、「良い」だけの回答の円を描きます。

 

長方形の中に円を2つ書くことができたら、必要な情報を付け足して書いていきます。

 

このようなことを踏まえてベン図を書きますと以下のようなベン図を書くことができます。

 

 

ベン図を書くときのポイントなのですが、ベン図内にわかっている人数を書くことがポイントになります。そうすることによってベン図がわかりやすくなります。

 

ベン図は一般的に、集合の問題で用いられます。集合の問題では、調査項目や調査対象、調査結果の数値などさまざまな情報が与えられますので、整理しないと何をしりたいのか。何がわからないのか。と言うことがなかなかわかりません。

 

そうなってしまいますと、あたまの中が混乱してしまいますし、なかなか問題を整理できません。ですから、ベン図を使って見える化を計ることが問題を解決するうえで必要なことなのです。

 

ベン図が書き終わったのならばあとは、計算式を立て計算するだけになります。

 

今回のお寿司屋さんの問題で求められていることは、「料理も店の雰囲気も両方良くない」と言う回答の人数です。ですから、男女それぞれの人数を求めてからその人数を合計することによって答えを出します。
 
男性のベン図から男性の両方とも良くないと回答した人数を求めます。

 

 

男性の両方とも良くないと言う人数を求めるのですから、その人数を「X」として表して計算します。

 

 ・料理だけが良いと回答した男性の人数は、230-X(人)
 
 ・店の雰囲気だけが良いと回答した男性の人数は、270-X(人)

 

と表します。

 

上記の数式を利用して、どちらか一方だけがよいと回答した男性の90人と言う条件を当てはめて式を考えます。
 
230-X+270−X=90

 

と言う式ができます。式ができてしまえばあとは計算するだけになります。

 

500−2X=90

 

になり、

 

2X=410

 

これを解きますと答えがX=205

 

ですから、答えは205人と言うことになり、料理が良かったグループの円と雰囲気が良かったグループの円の2つの円が重なる部分は、205人と言うことになりますので、両方とも良いと答えた人数が205人になります。

 

ここで求める人数は、「料理も店の雰囲気も良くない」ですので、その人数を「全体の人数−どちらが一方または、どちらも良いと回答した人数」で求めることができます。

 

計算式は以下になり、どちらか一方またはどちらも良いと回答した男性は、

 

90+205=295人
 
になります。

 

よってどちらも良くないと回答した男性は、

 

300−295=5

 

になり、5人と求められます。

 

次に女性のどちらも良くないと答えた人数を求めます。求める方法は「料理が良い」と答えた人数と「雰囲気が良い」と言う人数を足した人数から、2つの円の重なり合っている人数を引いて求められます。

 

 

上記のベン図を利用して計算式は、

 

料理が良い(180人)+雰囲気が良い(160人)=340人

 

340−180=160

 

160人になります。

 

上記の数式を利用してどちらも良くないと回答した人数を以下の式で求めます。

 

200−160=40人

 

男性と女性のそれぞれの人数をベン図によって求めました。男性のどちらも良くないと答えた人数が5人になり、女性が40人になります。

 

この人数を足しますと、

 

5+40=45

 

になります。

 

よってお寿司屋さんの料理と店の雰囲気の両方とも良くないと答えた人数は、500人中45人になります。

 

このようなややこしい部分でもベン図を使えば確認しながらわかりやすく求めることができますので、問題のミスを減らすことができます。また、ベン図では意見が重なってしまう場面では有効的な方法になります。

 

 ベン図を用いる問題も見分け方
集合の問題は一般的にはでませんが、就職の試験や数学のテストで出ます。どのような場合にベン図を用いて考えればいいのかわからなければ適切なベン図を書けませんので、ポイントを解説します。

 

集合の問題だと判断し、ベン図を用いる場合は、問題文に注目します。

 

 ・アンケート調査形式になっている。
 
 ・集合、またはグループごとに調査対象や調査結果が表などで示していある。
 
 ・求めるものは集合が重なる(数値が重複する)部分と重ならない部分の数値を求める問題である。

 

このようなことに注目していただければ、ベン図の問題だと言うことが判断できます。


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