確率思考への転換−FXトレーダーが教える確率思考

全米を騒然とさせた確率の問題・モンティ・ホール問題とは

 

確率を学ぶ上で「モンティ・ホール問題」と呼ばれる有名な話があります。しかし、この内容を理解している方は少ないです。

 

そこで、モンティ・ホール問題または、変数変換とは一体何か。また、どのようなことでモンティホール問題が重要なのかを解説していきます。

 

 モンティ・ホール問題とは
簡単に行ってしまえば、モンティ・ホール問題とは「確率論を利用した一種の心理トリック」になります。そして、変数変換とも呼ばれることもあります。

 

このモンティ・ホール問題について確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、ジレンマあるいはパラドックスと呼ばれるともあります。

 

そして、このモンティ・ホール問題と似た問題が私たち日本にも存在します。それは、「3囚人の問題」になります。モンティ・ホール問題と3囚人の問題は、実質的に同じことですから、このモンティ・ホール問題が理解できれば、こちらの3囚人の問題も理解できるかと思われます。

 

確かに、頭がいい方ならばこのような確率の問題を理解できるかもしれませんが、普通の方ではわかりにくいかもしれません。

 

しかし、私は高卒ですし、そこまで頭はよくありません。その私が理解できるのですから、あなたに理解できないはずがないのです。他のサイトではわかりにくいかもしれませんが、私は小学校で確率を習っていればわかるように解説したいと思います。

 

では、モンティ・ホール問題をまずは何も考えずに考えてみてください。

あなたは今テレビのバラエティのゲストとして呼ばれています。そして、これから出す問題に正解すれば、高級車を無料で手に入れることができます。

 

あなたの前には、ドアが3つあります。その1つのドアの後ろには景品の高級車があります。そして、他のドア後ろには外れのヤギいます。

 

あなたは高級車のドアを見事当てることができたらその高級車を手に入れることができます。

 

そして、あなたはドアを1つ選択しました。そうすると司会者モンティがあなたが選んでいないドアを開けるとヤギが入っていました。すると、司会者モンティはあなたにこう言いました。

 

「最初に選択しているドアではなくもう1つのドアに変えることもできますがどうしますか?」

これがモンティ・ホール問題になります。そして、この質問の問題点は、

 

 ・最初に選択しているドアをそのまま選ぶのか

 

 ・もう1つのドアに選択を変えるのか

 

この2つの場合はどちがのほうが得なのかと言うことがこのモンティ・ホール問題の本質になります。

 

 

正解は、もう1つのドアに選択したほうが得です。高級車を当てる確率は倍になります。

 

 モンティ・ホール問題の解説
一見、この問題の答えは外れがわかった時点で残りのドアが2つになりますので、確率は、1/2になったと思う方が多いですし、直感的に考えただけでは、そのように思っていても仕方がありません。

 

このように直観と実際の確率のずれが生じることが、パラドックスと呼ばれる要因になります。私たちの直観で思うことはこのようなことであり、このように実際よく考えてみればどちらが確率が高いかを説明させられたとしてもなかなか受け入れられないのです。

 

この問題で重要なのは正解率です。この場合ですと、最初にドアを選択した場面の正解率は、1/3になり、残りのドア2枚の正解率は、2/3になります。

司会者モンティが残りの正解率2/3の2つのドアの1つを開き、ハズレのヤギを見せることにで、残り2つのドアの正解率が2/3でしたので、その状況に変わりはなく、残りのドアの1つに正解率が集中することになります

このことからも司会者モンティがドアを開いた後は、選択をもう1つのドアに変えたほうが正解率が高いことがわかります。確かに、モンティがドアを開いた後に、選択しているドアを変えるか変えないかをコイントスのようなもので決めると言うのならば、正解確率は1/2になるかもしれません。

 

しかし、選択してからドアが1つ開くと言うことがポイントになりますから、そのようなの確率で1/2はなく、1/3と2/3の確率になりますので、そのようなただ単に1/2になった訳ではありません。

 

しかし、もし、単純に考えてそのように間違った解釈をしてしまい正解率が1/2になったとしても、選択を変えたほうがいいことがわかります。
 
なぜなら、最初の選択の確率では、1/3ですが、ハズレのドアを確認した後の確率は、1/2になります。

 

1/3で選択する場合と1/2で選択する場合は、正解率が33%と50%になりますので、ハズレのドアが開き、確率が1/2になったとしても33%で選ぶ場合と50%で選ぶ場合は、どちらが高級車を手に入れる確率が高いかは明白です。

 

 結果から考えることで納得する
開けるドアを変えると正解確率が2倍になる理由は、ただ単に高級車を当てる確率が倍になるからが最も簡単な説明なのですが、なかなか納得できない方のためにもう少し簡単に解説します。

 

モンティホール問題では、ドアが3つで高級車が入っているパターンが、
 
 ・ドアを選びなおさない場合と選びなおす場合の2パターン
 
 ・当たりが3種類、選び方3種類、3×3=9パターン
 
ドアを変えない場合9パターン、ドアを変える場合9パターンになり、合計18パターンになります。
 
まずは、ドアを開かない場合の9パターンのすべてを見てみましょう。

 

このように最初にドアを選択し、司会者モンティがハズレであるヤギのドアを開いた場合での正解は、9パターン中3勝6敗になり、正解率1/3です。この事実が変わることはありません。このことは、納得していただけると思います。

 

最初のドアを信じる方の心理は、

 

 ・残ったドアの確率は、1/2だと思い、直感を信じて動かない
 
 ・もし、選びなおして「ハズレ」だと思うと後悔してしまう
 
となります。自分の直観を信じて最初に選んだ選択をそのまま貫き通す素晴らしい方に多い選択だと思います。

 

では、ヤギのドアが開いた後にドアを選択し直した場合も9パターンあるのですが、その9パターンの正解率を確認してみましょう。

 

矢印が選び直したルートになります。このように最初のドアを選択し、司会者モンティがハズレであるヤギのドアを開いた場合で、ドアの選択を移動した場合の正解は9パターン中、6勝3敗になり、正解率は、2/3です。
 
このドアを選び直す方の心理は、
 
 ・選び直したほうが正解率が上がるから
 
 ・ドアを開けられた時点で正解率が変動するから
 
になります。
 
結果的に、すべてのパターンを比べてみると、正解率が移動しない場合では33%になり、移動した場合は66%になります。思っていたより正解率が高いと思う方が多いはずです。私たちの直観とはそこまで重要ではありませんし、あてにならないものです。

 

 ドアを100枚使用する場合
確率がわかりにくい場合は、数字を極端にすることでわかりやすくすることができます。分数も分母が大きいとわかりにくいですが、分母を小さくできるのならば小さくしたほうがわかりやすいです。この行為を通分と呼び、私たちは、小学校でこの確率をわかりやすくするための方法をもうすでに習っているのです。

 

このモンティ・ホール問題はドアが3つですが、ドアを100個にして考えてみましょう。

ドアが100個あります。あなたは、そのドアを1つ選択しました。その後残りのドア99個中98個のドアを開きました。そのドアにはハズレであるヤギが入っていました。あなたは、もう1つのドアに選択を変えることができます。

 

ドアを変えないほうがいいのか。それともドアを変えるのいいのか。このどちらが正解率が高いでしょうか?

あなたが最初に選ぶ正解の確率は、1%です。普通に考えても正解しているとは考えにくいです。ですから、ドアの選択を変えるほうが正解率が高くなることは、理解できると思います。少し、極端な問題になってしまいましたが、ドアが3つでもドアが100個でも同じ意味です。

 

このように確率を極端に大きくしてしてしまうか。極端に小さくしてしまうことにより、確率はとてもわかりやすくなります。

 

現実を受け入れ、結果から物事を考えてみればこのような確率のマジックに引っかからなくなります確率論では、結果であり、確率が絶対です。ですから、私たちの直感と現実とのギャップがいくらあろうとも現実の確率を素直に受け入れる必要があるのです。

 

そうすることができるのであれば、確率は、あなたの頼もしい見方になってくれるでしょう。


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